Problema de dibujo técnico (diédrico) resuelto con paso a paso
Hace poco tuve un alumno de clases particulares que está en primero de carrera de Arquitectura y no había dado antes dibujo técnico. Con ello, pese a tener una fuerte base matemática, en geometría descriptiva va bastante cojo.
Este es uno de los ejercicios de Geometría Descriptiva de 1° de la Universidad Rovira i Virgili. He incluido las imágenes con detalle, descripciones y un resumen al final así como una variación.
El enunciado
Siendo un triángulo ABC en proyecciones diédricas, hallar su ortocentro y trazar una recta perpendícular al plano del triángulo por el ortocentro y hallar el punto P a 6 cm en esa recta.
Resolución:
Los pasos seguidos son los siguientes:
- Creación de un triángulo abatible
- Abatimiento del triángulo
- Hallado del ortocentro
- Desabatimiento del ortocentro
- Creación de recta frontal
- Creación de recta perpendicular al plano del triángulo
- Obtención de distancia dentro de la recta
Es un proceso largo y al final también incluyo el resumen general y una variación de los datos iniciales.
1) Puesta en limpio de los datos del enunciado
En esta imagen pongo en limpio los datos del enunciado y cabe destacar un tema de notación.
He visto en varios recursos denotar las proyecciones de los puntos en planta como a, b, c y las proyecciones en alzado a’, b’, c’. Yo utilizo en planta a’, b’, c’ y en alzado a’’, b’’, c’’ para remarcar la idea de que estamos trabajando con proyecciones y no con los puntos reales.
2 Creación de un triángulo abatible
Primero tenemos que abatir el triángulo para poder trabajar en verdadera magnitud. Para facilitarnos la vida, vamos a crear un triángulo que esté en el mismo plano pero sea una recta horizontal (podría haber sido frontal). Para ello:
- Trazamos una línea horizontal desde b’’
- Extendemos la línea a’c’ y la línea a’’c’’
- Donde se corte la línea a’’c’’ con la horizontal desde b’’ tendremos un punto (d’’) que sigue en el plano, pero la línea que lo une con b’’ será horizontal.
- Bajamos d’’ para obtener d’ y la proyección en planta de BD
3 Abatimiento y triángulo en verdadera magnitud
Ahora con este triángulo DBC podemos hacer un cambio de plano sencillo, tomando las alturas y haciendo un abatimiento que resulta en verdadera magnitud.
Necesitamos tener claro cual es nuestro nuevo eje: d’b’, en el que coincidirán D y B. Tomando las alturas en la perpendicular hallaremos A y C.
4 Hallado del ortocentro
Ahora que tenemos el triángulo en verdadera magnitud, podemos averiguar su ortocentro haciendo la altura de al menos 2 de sus lados. Para ello haremos perpendiculares a los lados que pasen por el punto contrario (Ha, Hb, Hc). Para pasar estos puntos (y el ortocentro) necesitaremos los punto donde estas alturas cortan con los lados del triángulo. En el dibujo lo he notado con los puntos J, K y L
Ojo, en función del triángulo, el ortocentro puede, sin problemas, estar fuera del triángulo. Esto ocurre si es un triángulo obtusángulo (con alguno de los lados mayor de 90°)
5 Desabatimiento del ortocentro
Ahora tenemos que trasladar los puntos J,K y L (podríamos usar solo 2 pero con 3 aseguramos) utilizando líneas perpendiculares al eje BD y viendo donde se cortan con los lados donde pertenecen.
Tras ello, unimos esos puntos con sus vértices del triángulo correspondientes y su intersección nos dará la proyección del ortocentro. También se puede pasar sólo uno de los puntos y hacer la perpendicular al eje para hallar la proyección del ortocentro.
Nótese que los ángulos ahora de las alturas no tienen por qué ser de 90° en las proyecciones.
A partir de las proyecciones trazamos líneas verticales para encontrar la otra proyección que nos falta
Aquí ya tenemos las proyecciones del ortocentro(o’ y o’’). Ahora nos queda trazar la perpendicular.
6 Creación de la recta frontal
Para construir la recta perpendicular al tripangulo y que pase por el punto O necesitamos una recta horizontal y una recta frontal que estén en el plano dle triángulo.
La recta horizontal ya la tenemos (DB) y aquí construimos AF para hacer una recta frontal (“vertical”) que también esté dentro del triángulo.
Para ello trazamos una línea horizontal desde a’ y buscamos la intersección con b’c’. Este será f’ y subimos el punto para tener f’’. Al unir f’’ con a’’ tendremos la proyección en alzado de esta recta frontal.
7 Construcción de la recta perpendicular
Con ambas rectas ya sabemos que una recta perpendicular al plano del triángulo tendrá que ser perpendicular a sus trazas y aquí tenemos a un equivalente a estas. Para hallar la proyección en alzado de r trazamos una perpendicular a a’’f’’ que pase por o’’ y para la proyección en planta trazamos una perpendicular a d’b’ que pase por o’
Ahora sólo nos queda marcar la distancia que nos piden (6 cm) en esta recta.
8 Giro de la recta para marcar la distancia real
Por último, para encontrar los 6 cm que buscamos dentro de la recta usaremos uno de varios métodos. En concreto el del giro. Tomo un punto adicional de la recta (Q1) que giro con radio para hallar la verdadera magnitud desde el punto o’. Ahí pongo los 6 cm y deshago el giro para encontrar el punto P a 6 cm del ortocentro y del plano del triángulo. (aquí más información https://dibujotecni.com/sistema-diedrico/distancias/)
Resumen
Este sería cómo quedaría el dibujo en su conjunto con todos los pasos superpuestos. He marcado el triángulo abatido y la recta OP
Variación con otro triángulo
Decidí incluir otra variación con otros datos y otro abatimiento. Aquí el ortocentro sí sale fuera del triángulo.
Al resolverlo también en este caso obtuve la recta frontal con una de las intersecciones de las alturas para más limpieza en el dibujo.
Conclusiones personales
Yo ayudé a mi alumno con algunos de los problemas, pero siendo tan complejos que tenía que investigar para recordar cómo se hacían, el alumno no quedó satisfecho y decidió cancelar las clases. Es por ello que, para demostrarme a mí mismo que sí puedo con este tipo de ejercicios de 1° de carrera, decidí resolver este y hacer el paso a paso.
Al final incluso solo la versión en papel (sin contar con escaneo y ponerlo aquí en límpio) me ha llevado 3 horas de trabajo, así que, aunque hubiera seguido la clase, había muchas cosas que comentar y haber dejado preparadas.
